3: \(P=\dfrac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(y+z\right)+\left(y+x\right)}+\dfrac{z}{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}\right)=\dfrac{3}{2}\).

Đẳng thức xảy ra khi x = y = x = \(\dfrac{1}{3}\).

\(K=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{3}{2xy}+24xy-20xy\)

\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+12-\frac{20\left(x+y\right)^2}{4}=11\)

Check xem có sai chỗ nào ko:v

Trời! Chứng minh vậy đọc ai hiểu được chời :)))

Vì \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}=\frac{1^2}{x^2+y^2}+\frac{1^2}{2xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+2xy+y^2}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)

\(\frac{3}{2xy}+24xy\ge2\sqrt{\frac{3}{2xy}.24xy}=12\)

Lại quên dấu bằng xảy ra kìa em. 

"=" xảy ra <=> x=y=1/2

Nguyễn Linh Chi hehe:)) Đó cái thói quen lười viết của em đây mà:)) 

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz , ta có : \(3.\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\), do đó : \(0\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2-7\left(x^2+y^2+z^2\right)+12\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\), áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz , ta lại có :

\(P=\frac{x^2}{y+2z}+\frac{y^2}{z+2x}+\frac{z^2}{x+2y}\)

\(=\frac{x^4}{x^2y+2zx^2}+\frac{y^4}{y^2z+2xy^2}+\frac{z^4}{z^2x+2yz^2}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2y+y^2z+z^2x+2\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)}\)

Tiếp tục sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz và kết hợp BĐT quen thuộc \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\), ta có :

\(x^2y+y^2z+z^2x\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right).\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)}\)

                                  \(\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right).\left(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\right)}\)

                                   \(=\left(x^2+y^2+z^2\right).\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}\)

Tương tự , chứng minh đc :

\(2.\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3.\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}}\)

          \(=\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}}\)

           \(\ge1\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 nên giá trị nhỏ nhất của P là 1

Bài này thì có 2 cách Làm cách cồng kềnh nhất vậy :))

\(M=x^3\left(\frac{1}{xy+9}+\frac{1}{xz+9}\right)+y^3\left(\frac{1}{xy+9}+\frac{1}{yz+9}\right)+z^3\left(\frac{1}{yz+9}+\frac{1}{xz+9}\right)\)

C-S ; ta được : \(\frac{1}{xy+9}+\frac{1}{xz+9}\ge\frac{4}{x\left(y+z\right)+18}=\frac{4}{x\left(9-x\right)+18}=\frac{4}{3x+27-\left(x-3\right)^2}\ge\frac{4}{3x+27}\)

Suy ra : \(M\ge\frac{4}{3}\) . sigma \(\frac{x^3}{x+9}\) 

Tiếp tục AD C-S ; ta được : \(\frac{x^3}{x+9}+\frac{3}{16}\left(x+9\right)+\frac{9}{4}\ge\frac{9}{4}x\Rightarrow\frac{x^3}{x+9}\ge\frac{33}{16}x-\frac{63}{16}\)

=> sig ma \(\frac{x^3}{x+9}\ge\frac{33}{16}\left(x+y+z\right)-\frac{63}{16}.3=\frac{27}{4}\)

Suy ra : M \(\ge\frac{4}{3}.\frac{27}{4}=9\)

" = " <=> x = y = z = 3

Xong film 

Ủa làm đề  hay s vậy ? Toàn mấy câu thi HSG

câu bất này cx ko khó lắm ; nãy tui bấm máy tính nhầm thành ra mất thời gian haizz 

x,y>0 => theo bdt AM-GM thì x+y >/ 2 căn (xy)=2 , x^2+y^2 >/ 2xy=2 (do xy=1)

P=(x+y+1)(x^2+y^2)+4/(x+y)

>/ 2(x+y+1)+4/(x+y)=[(x+y)+4/(x+y)]+(x+y+2)

x,y>0=>x+y>0 => theo bdt AM-GM thì P >/ 2.2+2+2=8 

minP=8 

Dự đoán \(M\) đạt min tại mỗi biến bằng \(\frac{2}{3}\).

Nên ta viết lại \(M=\left(x+\frac{4}{9x}\right)+\left(y+\frac{4}{9y}\right)+\frac{5}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho hai lượng đầu và BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ta có:

\(M\ge\frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{5}{9}.\frac{4}{x+y}\ge\frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{5}{9}.\frac{4}{\frac{4}{3}}=\frac{13}{3}\)

\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\sqrt{1+x^2y^2}\)

\(\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\frac{1}{xy}+xy}=2\sqrt{\frac{1}{16xy}+xy+\frac{15}{16xy}}\)

\(\ge2\sqrt{2\sqrt{\frac{1}{16xy}\cdot xy}+\frac{15}{4\left(x+y\right)^2}}=2\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{15}{4}}=\sqrt{17}\)

Dấu "=" xảy ra tai x=y=1/2